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1  引言
    干式空心串聯電抗器與并聯電容器組相串聯，具有限制合閘涌流和抑制諧波電流的功能。它采用多層包封并聯結構，層間有通風道。每個包封又由多層小直徑鋁導線以軸向和徑向并聯的形式組成，結構如圖1所示^[1]。干式空心串聯電抗器設計需綜合考慮電感、電流、電流密度、溫升和損耗等方面的要求。傳統上一般基于經驗確定電抗器的內徑、包封數和各個包封的徑向和軸向分層數，這種設計方法由于要反復調整設計參數，繁瑣費時，設計的電抗器也不能達到整體性能最優，所以有必要研究空心串聯電抗器的優化設計問題。目前空心電抗器優化設計采用的方法主要是復合形法和伸縮保差法^[2-3]。但是這些優化方法具有一定的局限性，由于包封數、徑向分層數和軸向分層數是整數，在優化過程中對這些設計變量要進行取整，對最后的優化結果也要進行標準規劃，以使導線具有標準規格的線徑。

    本文將遺傳算法應用到干式空心串聯電抗器的設計中，為空心串聯電抗器的優化設計提供了一種新的方法。遺傳算法對空心串聯電抗器優化設計中的離散或連續設計變量，可以分別采用二進制^[4]或實數進行編碼，對優化結果不需要進行標準規劃。該方法具有較強的通用性，對不同型號的空心串聯電抗器，只需給定電抗器的額定容量、額定電壓和電抗率等參數，即可通過計算確定最優設計方案。
2  優化模型
    干式空心串聯電抗器的優化設計是一個有約束的非線性優化問題。根據空心串聯電抗器的結構特點，將電抗器的內徑、包封數、各包封的徑向分層數、軸向分層數和線徑作為設計變量，其它變量如電流密度、損耗和重量等參數通過設計變量計算得到。將電抗器的重量W_t作為目標函數

式中  D_in為電抗器的內徑；N為包封數；i=1，2，…，N；L_r(i)為第i個包封的徑向分層數；L_z(i)為第i個包封的軸向分層數；L_d(i)為第i個包封中的導線線徑。
    將空心串聯電抗器的損耗、電流密度和溫升等作為約束條件S，可表示為

式中  D為設計要求；ε為設計容差。
    采用自適應懲罰函數處理約束條件。自適應懲罰函數根據遺傳操作過程中最優個體的可行性來自適應地調整懲罰因子，即若當前代的前k代最佳個體都是可行解，則減小目標函數的懲罰因子；若前k代的最佳個體都是非可行解，則增大懲罰因子；若前k代中，最佳個體既有可行解，又有非可行解，則保持懲罰因子不變。帶有自適應懲罰函數的目標函數為

式中 b(i)表示第i代時目標函數值最好的個體；0<β₁<1；β₂>1；ξ為可行解區域；為非可行解區域。
3  自適應遺傳算法
3.1  改進的自適應遺傳算法
    遺傳算法的參數中交叉概率P_c和變異概率P_m數值的大小是影響遺傳算法性能的關鍵。P_c越大，產生新個體的速度就越快，但是P_c太大時適應度大的個體編碼被破壞的可能性也增大；若P_c太小，就不易產生新的個體。對于變異概率，若P_m太大，則遺傳算法變成了純粹的隨機搜索算法；若P_m太小，則不易產生新的個體。針對不同的優化問題，需要反復實驗來確定P_c和P_m，而且難以找到最佳值。自適應遺傳算法就是根據適應度值來動態調整P_c和P_m。文獻[5]提出的自適應算法對適應度接近或等于最大適應度的個體，P_c和P_m接近或等于零，使得進化初期的優良個體幾乎處在一種不發生變化的狀態，而此時的優良個體不一定是全局最優解。本文作進一步的改進，如式(4)、(5)所示。

式中 f_max為種群中的最大個體適應度；f_mean為種群的平均個體適應度；f_g為要交叉的兩個個體中較大的適應度。
    P_cl、P_cmin、P_ml和P_mmin均為(0, 1)區間的值，且滿足：P_cl+P_cmin<1,P_ml+P_mmin<1。
    改進的自適應遺傳算法使種群中適應度最大的個體的交叉率和變異率不為零，分別提高到P_cmin和P_mmin，這就相應提高了種群中優良個體的交叉率和變異率，從而使算法能跳出局部最優解。
3.2  改進的適應度線性變換
    適應度線性變換即在進化前期，對適應度小于種群平均適應度的個體，放大其適應度；而對適應度大于種群平均適應度的個體，則縮小其適應度。進化后期的處理方法與進化前期相反。由于根據進化代數區分進化前期和后期的方法誤差較大，本文采用樣本標準偏差來區分，如式(6)所示。

式中  M為種群數量；f_i為第i個個體的適應度。
    若種群的樣本標準偏差大于給定的臨界值C_r，則認為種群處在進化前期，否則認為種群處在進化后期。適應度線性變換如式(7)所示。
    f'=αf+β        (7)
α和β的取值分為以下兩種情況。

個體適應度。

    進化過程中f_max和f_mean在不斷變化，系數c的數值若為一固定值，則有可能對需要放大的個體適應度進行縮小，而對需要縮小的個體適應度則進行放大。為避免出現這種情況，令α=tgθ₂，則有

    這樣當σ>C_r時，只需給定θ₂<π/4，即可保證對適應度小于種群平均適應度的個體進行放大；而對適應度大于種群平均適應度的個體則進行縮小。
3.3  改進的最優保存策略
    為防止最優個體在交叉和變異等遺傳操作過程中編碼發生變化或丟失，最優保存策略是一種行之有效的方法。對有約束條件的優化問題，這種方法存在一個缺陷，即保存的最優個體可能是非可行解。例如若當前最優個體和本代最優個體分別是非可行解和可行解，而當前最優個體的適應度大于本代最優個體的適應度，按照最優策略則需將本代最差個體用當前最優個體替換，從而將最優個體保存下來，這可能導致最后的最優個體是非可行解。為防止可行解在遺傳操作過程中丟失，需要綜合考慮當前最優個體和本代最優個體的適應度和可行性。設F_c和F_b分別為當前最優個體和本代最優個體的適應度。分為以下四種情況，分別采取相應的最優保存策略：
    （1）當前最優個體和本代最優個體均為非可行解，則比較其適應度。若F_c >F_b，將本代最差個體用當前最優個體替換；若F_c < F_b，將當前最優個體用本代最優個體替換；
    （2）當前最優個體為非可行解，本代最優個體為可行解，則將當前最優個體用本代最優個體替換；
    （3）當前最優個體為可行解，本代最優個體為非可行解，則將本代種群中的最差個體用當前最優個體替換；
    （4）當前最優個體和本代最優個體均為可行解，處理方法同(1)。
4  算例分析
4.1  測試
    對一個有約束的測試函數，分別采用簡單遺傳算法（SGA）、自適應遺傳算法^[5]（AGA）和改進自適應遺傳算法（NAGA）進行優化，從而檢驗改進自適應遺傳算法的性能。測試函數為

    該測試函數的全局最優值為680.63。遺傳算法參數為：種群中個體數100個，最大進化代數300代。運算100次，目標函數的最小值、最大值和平均值如表1所示。

    由表1可見改進自適應遺傳算法的全局尋優能力有一定提高。
4.2  設計實例
    在空心電抗器的內徑、包封數、各包封的徑向和軸向分層數以及線徑等設計變量確定的情況下，各層導線匝數的求解方法按照約束條件的不同，分為等電流法、等電密法、不等電密法和等電阻電壓法四種方法。本文采用等電阻電壓法，即以各層導線中電阻與電流的乘積相等作為約束條件求解匝數，如式(11)所示，該方法使得整個電抗器的損耗最低^[7]。

    下面以單相額定容量、額定端電壓和額定電抗率分別為30kvar、317.54V和5%的空心串聯電抗器為例，給出優化結果。優化前、后電抗器的外徑、高度、重量和損耗如表2所示。

    從表2可看出，在滿足設計要求的情況下，改進自適應遺傳算法（NAGA）的優化效果最顯著，每相電抗器的外徑、高度、重量和損耗分別減小了3.9%、25%、29%、9.3%。
    改進自適應遺傳算法優化得到的各個包封和各層導線的參數分別如表3和表4所示。采用有限元法對設計的結構參數進行校驗。表5給出了電感和電流額定值與計算值的比較，可以看出電感和電流均滿足設計要求。

    基于磁場-電路-流場-溫度場的耦合計算方法，環境溫度按空心串聯電抗器的使用條件取最大值45℃，求出了空心串聯電抗器的溫度場分布。電抗器中的平均溫度和最高溫度分別為95.3℃和112.6℃，滿足空心串聯電抗器的B級絕緣要求。
5  結論
    本文建立了空心串聯電抗器優化設計模型，以等電阻電壓法作為計算方法，采用改進的自適應遺傳算法對空心串聯電抗器進行優化設計，提高了全局尋優能力。對不同產品型號的空心串聯電抗器，只需給定相應的參數，即可完成電抗器計算，并且對設計方案不需要進行標準規劃。將空心串聯電抗器的優化方案與原設計方案進行比較可見電抗器的結構尺寸、重量和損耗都顯著減小，表明在空心串聯電抗器優化設計中采用改進的自適應遺傳算法取得了良好效果。