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1 引言
現(xiàn)代電力系統(tǒng)中存在的低頻振蕩現(xiàn)象是增幅性低頻振蕩小干擾下系統(tǒng)失穩(wěn)的主要原因之一。弱阻尼低頻振蕩模式是增幅性低頻振蕩發(fā)生的內(nèi)在因素。所以，長(zhǎng)期以來(lái)人們一直都把小干擾穩(wěn)定分析的重點(diǎn)放在對(duì)低頻振蕩模式的研究上, 這個(gè)時(shí)期，低頻振蕩模式是與大干擾強(qiáng)非線性無(wú)關(guān)的。
向量場(chǎng)正則形理論作為分析非線性系統(tǒng)的一個(gè)新的有效工具，已被用來(lái)研究大干擾下stress系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性[1~4]。文[1]論證了2階解在大干擾模式間的非線性相關(guān)作用的有效性，文[2] 在2階解的基礎(chǔ)上研究了模式間非線性相關(guān)作用對(duì)控制器性能的影響，文[3]利用模式間的非線性相關(guān)作用提出了確定經(jīng)典電力系統(tǒng)模型臨界切除時(shí)間的新方法, 文[4]推出了在諧振與準(zhǔn)諧振條件下的2階解析解，找到了大干擾下易失穩(wěn)的參數(shù)域。向量場(chǎng)正則形理論突破了傳統(tǒng)穩(wěn)定分析的局限，把模式和大干擾下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性聯(lián)在了一起，而在電力系統(tǒng)中應(yīng)用向量場(chǎng)正則形理論的關(guān)鍵是求解出非線性正則變換系數(shù)。
本文提出了數(shù)值求解向量場(chǎng)非線性正則變換系數(shù)的算法（ND算法），該算法簡(jiǎn)單、方便、實(shí)用、有效，適用于任何復(fù)雜的電力系統(tǒng)，給出了實(shí)用的鑒別主導(dǎo)低頻振蕩模式的方法。在此基礎(chǔ)上，通過研究低頻振蕩模式與其它模式以及狀態(tài)變量間的非線性相關(guān)作用，把低頻振蕩模式與系統(tǒng)大干擾穩(wěn)定聯(lián)系在一起，探索了低頻振蕩模式在大干擾穩(wěn)定中充當(dāng)?shù)慕巧妥饔茫瑥牧硪粋€(gè)側(cè)面揭示了以往大干擾穩(wěn)定分析中所無(wú)法涉及的一些新現(xiàn)象，得到了一些新的觀點(diǎn)和新的見解。
2 向量場(chǎng)的正則變換
移平衡點(diǎn)到原點(diǎn)，對(duì)n機(jī)系統(tǒng)，消去非發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的N維狀態(tài)方程為
式中 x為狀態(tài)向量，Y 為電壓和電流組成的中間變量。
若U為系統(tǒng)的右特征向量陣，取線性變換x=UY, 式(1)變?yōu)榧s當(dāng)形系統(tǒng)
式中 Y為約當(dāng)形變量；J為由系統(tǒng)特征根組成的對(duì)角矩陣；Y2(Y)為系統(tǒng)的二階項(xiàng)；Yh為高階項(xiàng)。
向量場(chǎng)正則形理論指出，通過正則變換，約當(dāng)形系統(tǒng)中的高階項(xiàng)可以消掉，系統(tǒng)變?yōu)檎齽t形[5]即線性系統(tǒng)如下：
式中 zj為正則形變量；lj為系統(tǒng)第j個(gè)特征根。
式(4)是非線性正則變換系數(shù)或稱為非線性相關(guān)系數(shù)，它代表模式間非線性相關(guān)作用的大小。
為矩陣C j的第K行第l列,
式中 V為規(guī)格化的左特征向量；VT=U-1；H P為原系統(tǒng)海森矩陣H的第P個(gè)子陣。
式(3)的解析解很容易寫出，在式(3)解析解的基礎(chǔ)上，再利用上述正則變換矩陣的反變換陣Z=Y-h2(Y)，可得式(2)的2階解析解[5]為
從上式可看出，模式仍是2階解的主要成分，而非線性正則變換系數(shù)則是構(gòu)成2階解的一個(gè)基本參數(shù)，它包含著一系列重要的非線性信息，是展現(xiàn)系統(tǒng)非線性特性的源泉 [1,2,4]。要求得2階解，其最重要、最關(guān)鍵的一步是求出非線性正則變換系數(shù)。
3 求解非線性正則變換系數(shù)的ND算法
由于電力系統(tǒng)的狀態(tài)方程是由狀態(tài)變量和中間變量y共同組成的，只有從狀態(tài)方程、非線性網(wǎng)絡(luò)方程和機(jī)端電壓方程中消掉y，才能得到僅含狀態(tài)變量的封閉的狀態(tài)方程，進(jìn)而解析求得系統(tǒng)的海森矩陣，再求得非線性正則變換系數(shù)。但由于非線性網(wǎng)絡(luò)方程的存在，要從機(jī)端電壓方程和網(wǎng)絡(luò)方程中消掉中間變量y，得到封閉的不含y 的狀態(tài)方程，是根本辦不到的。按以往線性化方法得到的雅克比矩陣，也只是系統(tǒng)一階偏導(dǎo)數(shù)在平衡點(diǎn)處的值，是無(wú)法繼續(xù)求海森矩陣的。即使是走別的解析求導(dǎo)的渠道，也將是一件困難和繁雜的事情。所以，求取系統(tǒng)狀態(tài)方程的高階偏導(dǎo)數(shù)就成了研究大干擾下低頻振蕩模式作用的第一道難題。
本文避開了解析求導(dǎo)，在文[7]、[9]的基礎(chǔ)上，提出了數(shù)值求解狀態(tài)方程海森矩陣的算法(ND算法)，不但成功地解決了第一道難題，同時(shí)因?yàn)镹D算法具有簡(jiǎn)單方便，適應(yīng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，所以也為其它復(fù)雜系統(tǒng)求取高階偏導(dǎo)數(shù)提供了一個(gè)有效的工具。
這里，特別要提及的是，f對(duì)狀態(tài)變量的一階偏導(dǎo)數(shù)是用解析方法求得的，以往小干擾穩(wěn)定分析中任何一種解析求f雅可比矩陣A的算法都可用，數(shù)值微商處理的僅僅是2階偏導(dǎo)，這是本文所提用數(shù)值微商求海森矩陣的精髓所在。
數(shù)值微商中另一個(gè)重要問題就是增量Dx的選取和誤差分析。在式(8)中，x*是系統(tǒng)的原平衡點(diǎn)，一般情況下它不會(huì)是零，所以可以給定數(shù)值微商中第j個(gè)狀態(tài)變量在平衡點(diǎn)處的增量Dxj為
則數(shù)值微商的截?cái)嗾`差應(yīng)是O(10-8Dxj)=O(10-10)階; 若取Dxj=10-5，則數(shù)值微商的截?cái)嗾`差應(yīng)是O(10-10)階, 而舍入誤差是O(u/Dxj)=O(10-9)階。這完全可以滿足實(shí)際需要。
階, 而舍入誤差是O(u/ 求得系統(tǒng)的海森矩陣，再求非線性正則變換系數(shù)就只是簡(jiǎn)單的矩陣乘法運(yùn)算的問題了。
4 大干擾下主導(dǎo)低頻振蕩模式的鑒別
小干擾下，弱阻尼低頻振蕩模式是影響系統(tǒng)穩(wěn)定的主要因素。文[1]、[2]、[4]指出，大干擾下，振蕩模式的非線性相關(guān)作用是主導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的主要因素。對(duì)一個(gè)n機(jī)系統(tǒng)，應(yīng)有n-1對(duì)低頻振蕩模式，究竟哪一個(gè)模式對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響更大，可以通過約當(dāng)形系統(tǒng)的一階解和2階解的比較看出。
一階解主要提供了模式和狀態(tài)變量間線性相關(guān)的信息，2階解含有模式和模式、模式和狀態(tài)變量間非線性相關(guān)作用的信息，所以通過一階解和2階解的比較可以看出在大干擾下哪一個(gè)低頻振蕩模式將被更強(qiáng)烈的激勵(lì)，表現(xiàn)出更強(qiáng)烈的非線性相關(guān)作用[2,4]。整個(gè)解的比較是很繁瑣的事，文[2]、[4]提出了一種簡(jiǎn)化的鑒別所有主導(dǎo)振蕩模式(包括主導(dǎo)低頻振蕩模式和主導(dǎo)控制模式)的公式為
一般情況下，這一條件是能滿足的。但在系統(tǒng)有多個(gè)頻率相近的低頻振蕩模式時(shí)，會(huì)出現(xiàn)兩項(xiàng)或多項(xiàng)
的模近似相等的情況，再僅用一項(xiàng)
就有可能給主導(dǎo)低頻振蕩模式的鑒別帶來(lái)誤差。為此本文對(duì)式(11) 作了如下修正：
5 算例分析
以中國(guó)電力科學(xué)研究院研制的綜合穩(wěn)定程序中的8機(jī)系統(tǒng)為算例，見圖1。所有發(fā)電機(jī)都采用3階模型(d, w, Eq)，除1號(hào)機(jī)外，其它發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁系統(tǒng)也都用3階模型，系統(tǒng)總階數(shù)為45階，求得的低頻振蕩模式列于表1。選定大干擾的形式為在節(jié)點(diǎn)30處發(fā)生的三相瞬時(shí)短路，0.165s切除故障。
為說(shuō)明本文提出的ND算法的有效性，對(duì)上述系統(tǒng)計(jì)算海森矩陣，再求出非線性正則變換系數(shù)，在此列出其前6個(gè)元素：
再用解析方法求得海森矩陣，進(jìn)而求得非線性正則變換系數(shù)，其對(duì)應(yīng)的前6個(gè)元素為：
-0.00942869069496-j0.000360394117736
0.00340272976985+j0.00030146649439
兩者各元素的前10位數(shù)字是一樣的，僅后3位數(shù)字有誤差，個(gè)別的后4位數(shù)字有誤差，與第3節(jié)中的分析是相同的。用非線性正則變換系數(shù)的其它元素來(lái)比較，結(jié)果也是如此，14位數(shù)字中也僅后4位數(shù)字有誤差。對(duì)文[7]所示的3機(jī)系統(tǒng)，文[8] 所示的單機(jī)系統(tǒng)，計(jì)算非線性正則變換系數(shù)的結(jié)果也同樣。由此可見本文所提ND算法的有效性。
按本文所提算法算得主導(dǎo)低頻振蕩模式是λ21 和λ22 , 若僅按式(11)計(jì)算，主導(dǎo)低頻振蕩模式應(yīng)是λ27 和λ28 。由特征根和狀態(tài)變量的線性相關(guān)因子計(jì)算知，這對(duì)模式與δ1 線性強(qiáng)相關(guān)，也就是與第7臺(tái)發(fā)電機(jī)線性強(qiáng)相關(guān)。由特征根和狀態(tài)變量的非線性相關(guān)因子[2,4]計(jì)算知，這對(duì)模式與w1 非線性強(qiáng)相關(guān)，同樣也是與第7臺(tái)發(fā)電機(jī)非線性強(qiáng)相關(guān)。同時(shí)按文[2]、[4]提出的方法求得模式21與模式22，40(或模式22與模式21，40)間的非線性相互作用最大，這里,
算知，模式40與e'q,6非線性強(qiáng)相關(guān)。也就是說(shuō)，在當(dāng)前的大干擾下，由于主導(dǎo)低頻振蕩模式21和模式40間強(qiáng)烈的非線性相互作用，使得7號(hào)發(fā)電機(jī)和6號(hào)發(fā)電機(jī)間也將發(fā)生強(qiáng)烈的非線性相互作用。換句話說(shuō)，節(jié)點(diǎn)30處發(fā)生短路故障，7號(hào)機(jī)受到的影響最大，遠(yuǎn)離故障的6號(hào)發(fā)電機(jī)受到的影響應(yīng)該較小。但由于主導(dǎo)低頻振蕩模式21與模式40間強(qiáng)烈的非線性相關(guān)作用，進(jìn)而與6號(hào)發(fā)電機(jī)狀態(tài)變量間強(qiáng)烈的非線性相關(guān)作用的結(jié)果，使得遠(yuǎn)離故障的6號(hào)發(fā)電機(jī)也將受到較大的擾動(dòng)。
用文[2]中提出的非線性正則變換系數(shù)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度思想同樣可以說(shuō)明這一特性。按文[2]中的式(16)，用本文提出的數(shù)值微商算法求取
對(duì)所有勵(lì)磁系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度，得模最大的是相對(duì)第8號(hào)機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)放大系數(shù)Kt8 的靈敏度，為1.18∠68.4 ，次之為相對(duì)于第6號(hào)機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)放大系數(shù)Kt6 的靈敏度，為1.09∠46.7 。這表明兩者的微增將使隨之加大，非線性增強(qiáng)。或者說(shuō)，從勵(lì)磁系統(tǒng)這個(gè)角度看，Kt8 和Kt6 在較大程度上決定了代表的非線性的強(qiáng)弱，也就是模式21、模式22和模式40 間非線性相關(guān)作用的強(qiáng)弱。這種相關(guān)作用將使得第8號(hào)機(jī)﹑第6號(hào)機(jī)和模式21，進(jìn)而第7號(hào)機(jī)間非線性相關(guān)聯(lián)系緊密。
為驗(yàn)證上述分析的正確性，使用中國(guó)電力科學(xué)研究院研制的綜合穩(wěn)定程序做時(shí)域仿真，所得以1號(hào)機(jī)為參考機(jī)的相對(duì)功角曲線如圖2所示。由圖2可見，對(duì)上述大干擾，7號(hào)機(jī)和8號(hào)機(jī)在1s時(shí)δ7.1 和δ8.1 已超過180°，失去同步；而遠(yuǎn)離故障的6號(hào)發(fā)電機(jī)在1s時(shí)δ6.1 也超過180°，失去同步，而且頭三擺呈增幅狀態(tài)。δ7.1 在4擺衰減振蕩后及δ8.1 在2擺衰減振蕩后又都出現(xiàn)增幅振蕩，這也是由于低頻振蕩模式強(qiáng)烈的非線性相關(guān)作用造成的典型的非線性現(xiàn)象[4]。由此驗(yàn)證了本文提出的這一新的觀點(diǎn)：低頻振蕩模式強(qiáng)烈的非線性相關(guān)作用是大干擾下影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的重要因素，極端情況時(shí)，主導(dǎo)低頻振蕩模式與其它模式、發(fā)電機(jī)狀態(tài)變量間強(qiáng)烈的非線性相關(guān)作用是造成遠(yuǎn)離故障發(fā)電機(jī)失穩(wěn)的主要原因之一。
6 結(jié)論
（1）向量場(chǎng)正則形理論把大干擾強(qiáng)非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性研究與系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特性聯(lián)系在一起，從另一側(cè)面為分析強(qiáng)非線性下系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及動(dòng)態(tài)特性提供了一個(gè)新的有效途徑。
（2）本文提出的數(shù)值求解非線性向量場(chǎng)正則變換系數(shù)的算法(ND算法)簡(jiǎn)單、方便、實(shí)用、有效，適用于任何復(fù)雜的電力系統(tǒng)，解決了應(yīng)用向量場(chǎng)正則形理論的最基本的問題，也為復(fù)雜系統(tǒng)求解高階偏導(dǎo)數(shù)提供了一個(gè)極其有效的工具。
（3）本文提出的鑒別大干擾下主導(dǎo)低頻振蕩模式的方法，定量評(píng)價(jià)模式非線性相關(guān)作用大小的方法，為探索低頻振蕩模式在大干擾穩(wěn)定中的作用，從另一個(gè)側(cè)面揭示了以往大干擾穩(wěn)定分析中所難以解釋的一些現(xiàn)象。
（4）實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證了結(jié)論（2），（3）的有效性，同時(shí)得到了一新的觀點(diǎn)：模式間，特別是主導(dǎo)低頻振蕩模式與其它模式、發(fā)電機(jī)狀態(tài)變量間非線性相關(guān)作用是大干擾下影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性的主要因素。
