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1  引言
        現代電力系統中存在的低頻振蕩現象是增幅性低頻振蕩小干擾下系統失穩的主要原因之一。弱阻尼低頻振蕩模式是增幅性低頻振蕩發生的內在因素。所以，長期以來人們一直都把小干擾穩定分析的重點放在對低頻振蕩模式的研究上, 這個時期，低頻振蕩模式是與大干擾強非線性無關的。
    向量場正則形理論作為分析非線性系統的一個新的有效工具，已被用來研究大干擾下stress系統的動態特性^[1~4]。文[1]論證了2階解在大干擾模式間的非線性相關作用的有效性，文[2] 在2階解的基礎上研究了模式間非線性相關作用對控制器性能的影響，文[3]利用模式間的非線性相關作用提出了確定經典電力系統模型臨界切除時間的新方法, 文[4]推出了在諧振與準諧振條件下的2階解析解，找到了大干擾下易失穩的參數域。向量場正則形理論突破了傳統穩定分析的局限，把模式和大干擾下系統的動態特性聯在了一起，而在電力系統中應用向量場正則形理論的關鍵是求解出非線性正則變換系數。
    本文提出了數值求解向量場非線性正則變換系數的算法（ND算法），該算法簡單、方便、實用、有效，適用于任何復雜的電力系統，給出了實用的鑒別主導低頻振蕩模式的方法。在此基礎上，通過研究低頻振蕩模式與其它模式以及狀態變量間的非線性相關作用，把低頻振蕩模式與系統大干擾穩定聯系在一起，探索了低頻振蕩模式在大干擾穩定中充當的角色和作用，從另一個側面揭示了以往大干擾穩定分析中所無法涉及的一些新現象，得到了一些新的觀點和新的見解。
2  向量場的正則變換
        移平衡點到原點，對n機系統，消去非發電機節點的N維狀態方程為

式中  x為狀態向量，Y 為電壓和電流組成的中間變量。
    若U為系統的右特征向量陣，取線性變換x=UY, 式(1)變為約當形系統
式中  Y為約當形變量；J為由系統特征根組成的對角矩陣；Y₂(Y)為系統的二階項；Y^h為高階項。
    向量場正則形理論指出，通過正則變換，約當形系統中的高階項可以消掉，系統變為正則形^[5]即線性系統如下：

式中  z_j為正則形變量；l_j為系統第j個特征根。

式(4)是非線性正則變換系數或稱為非線性相關系數，它代表模式間非線性相關作用的大小。為矩陣C ^j的第K行第l列,

式中   V為規格化的左特征向量；V_T=U^-1；H ^P為原系統海森矩陣H的第P個子陣。
    式(3)的解析解很容易寫出，在式(3)解析解的基礎上，再利用上述正則變換矩陣的反變換陣Z=Y-h₂(Y)，可得式(2)的2階解析解^[5]為

    從上式可看出，模式仍是2階解的主要成分，而非線性正則變換系數則是構成2階解的一個基本參數，它包含著一系列重要的非線性信息，是展現系統非線性特性的源泉 ^[1,2,4]。要求得2階解，其最重要、最關鍵的一步是求出非線性正則變換系數。
3   求解非線性正則變換系數的ND算法
    由于電力系統的狀態方程是由狀態變量和中間變量y共同組成的，只有從狀態方程、非線性網絡方程和機端電壓方程中消掉y，才能得到僅含狀態變量的封閉的狀態方程，進而解析求得系統的海森矩陣，再求得非線性正則變換系數。但由于非線性網絡方程的存在，要從機端電壓方程和網絡方程中消掉中間變量y，得到封閉的不含y 的狀態方程，是根本辦不到的。按以往線性化方法得到的雅克比矩陣，也只是系統一階偏導數在平衡點處的值，是無法繼續求海森矩陣的。即使是走別的解析求導的渠道，也將是一件困難和繁雜的事情。所以，求取系統狀態方程的高階偏導數就成了研究大干擾下低頻振蕩模式作用的第一道難題。
        本文避開了解析求導，在文[7]、[9]的基礎上，提出了數值求解狀態方程海森矩陣的算法(ND算法)，不但成功地解決了第一道難題，同時因為ND算法具有簡單方便，適應性強的特點，所以也為其它復雜系統求取高階偏導數提供了一個有效的工具。

這里，特別要提及的是，f對狀態變量的一階偏導數是用解析方法求得的，以往小干擾穩定分析中任何一種解析求f雅可比矩陣A的算法都可用，數值微商處理的僅僅是2階偏導，這是本文所提用數值微商求海森矩陣的精髓所在。
    數值微商中另一個重要問題就是增量Dx的選取和誤差分析。在式(8)中，x_*是系統的原平衡點，一般情況下它不會是零，所以可以給定數值微商中第j個狀態變量在平衡點處的增量Dx_j為

則數值微商的截斷誤差應是O(10^{-8Dx_j)=O(10-10)階; 若取Dx_j=10-5，則數值微商的截斷誤差應是O(10-10)階, 而舍入誤差是O(u/Dx_j)=O(10-9)階。這完全可以滿足實際需要。}
階, 而舍入誤差是O(u/        求得系統的海森矩陣，再求非線性正則變換系數就只是簡單的矩陣乘法運算的問題了。
4  大干擾下主導低頻振蕩模式的鑒別
        小干擾下，弱阻尼低頻振蕩模式是影響系統穩定的主要因素。文[1]、[2]、[4]指出，大干擾下，振蕩模式的非線性相關作用是主導系統動態特性的主要因素。對一個n機系統，應有n-1對低頻振蕩模式，究竟哪一個模式對系統動態特性的影響更大，可以通過約當形系統的一階解和2階解的比較看出。
        一階解主要提供了模式和狀態變量間線性相關的信息，2階解含有模式和模式、模式和狀態變量間非線性相關作用的信息，所以通過一階解和2階解的比較可以看出在大干擾下哪一個低頻振蕩模式將被更強烈的激勵，表現出更強烈的非線性相關作用^[2,4]。整個解的比較是很繁瑣的事，文[2]、[4]提出了一種簡化的鑒別所有主導振蕩模式(包括主導低頻振蕩模式和主導控制模式)的公式為

    一般情況下，這一條件是能滿足的。但在系統有多個頻率相近的低頻振蕩模式時，會出現兩項或多項的模近似相等的情況，再僅用一項就有可能給主導低頻振蕩模式的鑒別帶來誤差。為此本文對式(11) 作了如下修正：

5  算例分析
     以中國電力科學研究院研制的綜合穩定程序中的8機系統為算例，見圖1。所有發電機都采用3階模型(d, w, E_q)，除1號機外，其它發電機的勵磁系統也都用3階模型，系統總階數為45階，求得的低頻振蕩模式列于表1。選定大干擾的形式為在節點30處發生的三相瞬時短路，0.165s切除故障。

    為說明本文提出的ND算法的有效性，對上述系統計算海森矩陣，再求出非線性正則變換系數，在此列出其前6個元素：

再用解析方法求得海森矩陣，進而求得非線性正則變換系數，其對應的前6個元素為：

      -0.00942869069496-j0.000360394117736
      0.00340272976985+j0.00030146649439
兩者各元素的前10位數字是一樣的，僅后3位數字有誤差，個別的后4位數字有誤差，與第3節中的分析是相同的。用非線性正則變換系數的其它元素來比較，結果也是如此，14位數字中也僅后4位數字有誤差。對文[7]所示的3機系統，文[8] 所示的單機系統，計算非線性正則變換系數的結果也同樣。由此可見本文所提ND算法的有效性。
        按本文所提算法算得主導低頻振蕩模式是λ₂₁ 和λ₂₂ , 若僅按式(11)計算，主導低頻振蕩模式應是λ₂₇ 和λ₂₈ 。由特征根和狀態變量的線性相關因子計算知，這對模式與δ₁ 線性強相關，也就是與第7臺發電機線性強相關。由特征根和狀態變量的非線性相關因子^[2,4]計算知，這對模式與w₁ 非線性強相關，同樣也是與第7臺發電機非線性強相關。同時按文[2]、[4]提出的方法求得模式21與模式22，40(或模式22與模式21，40)間的非線性相互作用最大，這里,算知，模式40與e'_q,6非線性強相關。也就是說，在當前的大干擾下，由于主導低頻振蕩模式21和模式40間強烈的非線性相互作用，使得7號發電機和6號發電機間也將發生強烈的非線性相互作用。換句話說，節點30處發生短路故障，7號機受到的影響最大，遠離故障的6號發電機受到的影響應該較小。但由于主導低頻振蕩模式21與模式40間強烈的非線性相關作用，進而與6號發電機狀態變量間強烈的非線性相關作用的結果，使得遠離故障的6號發電機也將受到較大的擾動。
        用文[2]中提出的非線性正則變換系數對系統參數的靈敏度思想同樣可以說明這一特性。按文[2]中的式(16)，用本文提出的數值微商算法求取對所有勵磁系統參數的靈敏度，得模最大的是相對第8號機勵磁系統放大系數K_t8 的靈敏度，為1.18∠68.4 ，次之為相對于第6號機勵磁系統放大系數K_t6 的靈敏度，為1.09∠46.7 。這表明兩者的微增將使隨之加大，非線性增強。或者說，從勵磁系統這個角度看，K_t8 和K_t6 在較大程度上決定了代表的非線性的強弱，也就是模式21、模式22和模式40 間非線性相關作用的強弱。這種相關作用將使得第8號機﹑第6號機和模式21，進而第7號機間非線性相關聯系緊密。
        為驗證上述分析的正確性，使用中國電力科學研究院研制的綜合穩定程序做時域仿真，所得以1號機為參考機的相對功角曲線如圖2所示。由圖2可見，對上述大干擾，7號機和8號機在1s時δ_7.1 和δ_8.1 已超過180°，失去同步；而遠離故障的6號發電機在1s時δ_6.1 也超過180°，失去同步，而且頭三擺呈增幅狀態。δ_7.1 在4擺衰減振蕩后及δ_8.1 在2擺衰減振蕩后又都出現增幅振蕩，這也是由于低頻振蕩模式強烈的非線性相關作用造成的典型的非線性現象^[4]。由此驗證了本文提出的這一新的觀點：低頻振蕩模式強烈的非線性相關作用是大干擾下影響系統動態特性的重要因素，極端情況時，主導低頻振蕩模式與其它模式、發電機狀態變量間強烈的非線性相關作用是造成遠離故障發電機失穩的主要原因之一。

6  結論
        （1）向量場正則形理論把大干擾強非線性系統的動態特性研究與系統內部的結構特性聯系在一起，從另一側面為分析強非線性下系統的穩定性以及動態特性提供了一個新的有效途徑。
        （2）本文提出的數值求解非線性向量場正則變換系數的算法(ND算法)簡單、方便、實用、有效，適用于任何復雜的電力系統，解決了應用向量場正則形理論的最基本的問題，也為復雜系統求解高階偏導數提供了一個極其有效的工具。
        （3）本文提出的鑒別大干擾下主導低頻振蕩模式的方法，定量評價模式非線性相關作用大小的方法，為探索低頻振蕩模式在大干擾穩定中的作用，從另一個側面揭示了以往大干擾穩定分析中所難以解釋的一些現象。
        （4）實例計算驗證了結論（2），（3）的有效性，同時得到了一新的觀點：模式間，特別是主導低頻振蕩模式與其它模式、發電機狀態變量間非線性相關作用是大干擾下影響系統動態特性和穩定性的主要因素。