提到蒙特卡羅(也有翻譯成“蒙特卡洛”)一詞，人們不禁想到摩納哥的賭城。這兩者之間有必然聯(lián)系么？答案是：Exactly！
大家想想，賭博跟什么有關(guān)？首先想到的是隨機(jī)性和概率性。對(duì)，那蒙特卡羅方法就是與概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)有關(guān)。
MCM提出：
蒙特卡羅方法MCM于20世紀(jì)40年代美國(guó)在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”計(jì)劃的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼(計(jì)算機(jī)之父)首先提出。數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。在這之前，蒙特卡羅方法就已經(jīng)存在。1777年，法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐（Georges Louis Leclere de Buffon）提出用投針實(shí)驗(yàn)的方法求圓周率π。這被認(rèn)為是蒙特卡羅方法的起源。
傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)方法由于不能逼近真實(shí)的物理過(guò)程，很難得到滿意的結(jié)果，而蒙特卡羅方法MCM由于能夠真實(shí)地模擬實(shí)際物理過(guò)程，故解決問(wèn)題與實(shí)際非常符合，可以得到很圓滿的結(jié)果。這也是以概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)（或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。將所求解的問(wèn)題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問(wèn)題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統(tǒng)計(jì)特征，故借用賭城-蒙特卡羅命名。該命名既反映了該方法的部分內(nèi)涵，又便于記憶，因此得到人們的普遍接受。
BTW：MonteCarlo一詞來(lái)源于意大利語(yǔ)，是為了紀(jì)念王子摩納哥查理三世。蒙特卡羅（MonteCarlo）雖然是個(gè)賭城，但很小，估計(jì)跟北京的一條街差不多大。
MCM概述：
蒙特卡羅方法MCM（Monte Carlo Method），也稱隨機(jī)抽樣或統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。與它對(duì)應(yīng)的是確定性算法。蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)（如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算）以及人工智能之機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。
MCM基本思想:
當(dāng)所求解問(wèn)題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過(guò)某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問(wèn)題的解。
有一類問(wèn)題的維數(shù)（變量個(gè)數(shù)）可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千，解題難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，這就是所謂的維數(shù)的災(zāi)難(Curse of Dimensionality)。即使使用速度最快的計(jì)算機(jī)，傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法也難以對(duì)付，但蒙特卡羅方法MCM的計(jì)算復(fù)雜性不再依賴于維數(shù)，MCM能很好地用來(lái)對(duì)付維數(shù)的災(zāi)難。為提高方法的效率，科學(xué)家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧。
另一類形式與蒙特卡羅方法MCM相似，但理論基礎(chǔ)不同的方法—“擬蒙特卡羅方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年來(lái)也獲得迅速發(fā)展。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚、王元提出的“華—王”方法即是其中的一例。這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(Low DiscrepancySequences)代替蒙特卡羅方法MCM中的隨機(jī)數(shù)序列。該方法對(duì)某些問(wèn)題的求解比蒙特卡羅方法MCM計(jì)算速度上提高數(shù)百倍，計(jì)算精度上也有很大提高。
MCM基本原理
由概率定義知，某事件的概率可以用大量試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻率來(lái)估算，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，可認(rèn)為該事件的發(fā)生頻率即為其概率。因此，先對(duì)影響其可靠度的隨機(jī)變量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣，然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數(shù)式，確定結(jié)構(gòu)是否失效，最后從中求得結(jié)構(gòu)的失效概率。MCM正是基于此思路進(jìn)行分析的。
設(shè)有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi(i=1，2，3，…，k)，其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)分別為fx1，fx2，…，fxk，功能函數(shù)式為Z=g(x1，x2，…，xk)。
首先根據(jù)各隨機(jī)變量的相應(yīng)分布，產(chǎn)生N組隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xk值，計(jì)算功能函數(shù)值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L組隨機(jī)數(shù)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值Zi≤0，則當(dāng)N→∞時(shí)，根據(jù)伯努利大數(shù)定理及正態(tài)隨機(jī)變量的特性有：結(jié)構(gòu)失效概率，可靠指標(biāo)。
從MCM的思路可看出，MCM可以回避結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難，不管狀態(tài)函數(shù)是否非線性、隨機(jī)變量是否非正態(tài)，只要模擬的次數(shù)足夠多，就可得到一個(gè)比較精確的失效概率和可靠度指標(biāo)。特別當(dāng)變異系數(shù)較大時(shí)，與JC法計(jì)算的可靠指標(biāo)相比，結(jié)果更為精確，并且由于思路簡(jiǎn)單易于編制程序。
MCM主要步驟:
蒙特卡羅方法工作過(guò)程可以歸結(jié)為三個(gè)主要步驟：
1）構(gòu)造或描述概率過(guò)程
對(duì)于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題，主要是正確描述和模擬這個(gè)概率過(guò)程，對(duì)于本來(lái)不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問(wèn)題，必須事先構(gòu)造一個(gè)人為的概率過(guò)程，它的某些參量正好是所要求問(wèn)題的解。即將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題。打個(gè)不恰當(dāng)?shù)?/strong>比方，工作中有困難，要迎著困難上；沒(méi)有困難，也要制造困難，再迎著困難上^_^
2）實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣
構(gòu)造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量），就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實(shí)驗(yàn)的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。隨機(jī)數(shù)是具有概率分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)是實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。隨機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個(gè)簡(jiǎn)單子樣，也就是一個(gè)具有這種分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的問(wèn)題，就是從這個(gè)分布的抽樣問(wèn)題。在計(jì)算機(jī)上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機(jī)數(shù)(或偽隨機(jī)數(shù)序列)。但經(jīng)過(guò)多種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，偽隨機(jī)數(shù)(或偽隨機(jī)數(shù)序列)與真正的隨機(jī)數(shù)（或隨機(jī)數(shù)序列）具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來(lái)使用。
3）建立各種估計(jì)量
構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后，就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問(wèn)題的解，稱它為無(wú)偏估計(jì)。建立各種估計(jì)量，相當(dāng)于對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問(wèn)題的解。
通常蒙特卡羅方法通過(guò)構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于那些由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒(méi)有解析解的問(wèn)題，蒙特卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。
MCM工作過(guò)程:
在解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)應(yīng)用蒙特卡羅方法主要有兩部分工作：
1．用蒙特卡羅方法模擬某一過(guò)程時(shí)，需要產(chǎn)生某一概率分布的隨機(jī)變量。
2．用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)字特征估計(jì)出來(lái)，從而得到實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值解。
從理論上來(lái)說(shuō)，蒙特卡羅方法需要大量的實(shí)驗(yàn)。但求的是近似解，模擬樣本數(shù)越大，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，所得到的結(jié)果才越精確。但樣本數(shù)增加會(huì)帶來(lái)計(jì)算量的大幅上升。
MCM估算圓周率:
利用蒙特卡羅方法可用于，如圖，在邊長(zhǎng)為 2r 的正方形內(nèi)作一個(gè)半徑為 r 的圓，正方形的面積等于 2r×2r=4r^2，圓的面積等于 π×r×r=πr^2，由此可得出，正方形的面積與圓形的面積的比值為 4:π。假設(shè)向正方形的標(biāo)靶上隨機(jī)投擲飛鏢，如果擊中點(diǎn)在標(biāo)靶上是均勻分布的，即作為某一點(diǎn)的坐標(biāo)散布于正方形內(nèi)，那么落在正方形內(nèi)的點(diǎn)數(shù) N 與落在圓形內(nèi)的點(diǎn)數(shù) K 的比值接近于正方形的面積與圓的面積的比值，即，N:K ≈ 4:π，因此，π ≈ 4K/N 。用此方法求圓周率，需要大量的均勻分布的隨機(jī)數(shù)才能獲得比較準(zhǔn)確的數(shù)值。
MCM評(píng)估圍棋盤面:
我們都知道谷歌DeepMind圍棋程序 AlphaGo和它超越人類的強(qiáng)大計(jì)算能力。事實(shí)上，蒙特卡羅方法思想也用在了圍棋盤面評(píng)估。每個(gè)圍棋盤面都有一個(gè)“最優(yōu)值”，對(duì)應(yīng)于博弈雙方都采用完美走法的情況下得到的圍棋盤面的最終結(jié)果。對(duì)于圍棋已經(jīng)證明，計(jì)算這個(gè)“最優(yōu)值”的時(shí)間至少隨該盤面到終盤之間的步數(shù)呈指數(shù)級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，比如平均200步的話，每步平均增長(zhǎng)200倍數(shù)量的可能盤面。從理論上無(wú)法得到“最優(yōu)值”，于是人們想到用蒙特卡羅方法思想對(duì)整個(gè)可能性空間進(jìn)行某種采樣，然后通過(guò)統(tǒng)計(jì)估值的方法逼近這個(gè)“最優(yōu)值”。這就是2006年提出的一種稱為蒙特卡羅樹(shù)搜索的動(dòng)態(tài)評(píng)估方法。
現(xiàn)有的蒙特卡羅樹(shù)搜索雖然能保證大量采樣的結(jié)果足夠收斂到盤面“最優(yōu)值”，但為達(dá)到“足夠收斂”所需的采樣次數(shù)仍然是隨整個(gè)可能性空間的規(guī)模指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。但是在圍棋弈棋系統(tǒng)的實(shí)踐中，蒙特卡羅樹(shù)搜索在比賽時(shí)間受限的情況下確實(shí)表現(xiàn)出遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)傳統(tǒng)方法的棋力。最近幾年人們?cè)谶x擇策略中加入更多和圍棋相關(guān)的專家知識(shí)，使得基于蒙特卡羅樹(shù)搜索的圍棋弈棋系統(tǒng)水平不斷提高。蒙特卡羅樹(shù)搜索成為在完美信息博弈場(chǎng)景中進(jìn)行決策的一種關(guān)鍵技術(shù)，在很多現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用中有著廣闊前景。
MCM應(yīng)用領(lǐng)域:
越來(lái)越廣泛。它不僅較好地解決了多重積分計(jì)算、微分方程求解、積分方程求解、特征值計(jì)算和非線性方程組求解等高難度和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，而且在統(tǒng)計(jì)物理、粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算、核物理、真空技術(shù)、系統(tǒng)科學(xué)、信息科學(xué)、公用事業(yè)、地質(zhì)、金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、可靠性、計(jì)算機(jī)科學(xué)及人工智能之機(jī)器學(xué)習(xí)等廣泛的領(lǐng)域都得到成功的應(yīng)用。
MCM發(fā)展歷程：
1）公元20世紀(jì)初期，盡管實(shí)驗(yàn)次數(shù)數(shù)以千計(jì)，利用蒙特卡羅方法所得到的圓周率π值，還是達(dá)不到公元5世紀(jì)祖沖之的推算精度。這可能是傳統(tǒng)蒙特卡羅方法長(zhǎng)期得不到推廣的主要原因。
2）計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得蒙特卡羅方法在最近10年得到快速的普及。現(xiàn)代的蒙特卡羅方法，已經(jīng)不必親自動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，而是借助計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)轉(zhuǎn)能力，使得原本費(fèi)時(shí)費(fèi)力的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，變成了快速和輕而易舉的事情。它不但用于解決許多復(fù)雜的科學(xué)方面的問(wèn)題，也被項(xiàng)目管理人員經(jīng)常使用。
MCM優(yōu)點(diǎn)：
1）算法簡(jiǎn)單，省卻了繁復(fù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算過(guò)程，使得一般人也能夠理解和掌握；
2）適應(yīng)性強(qiáng)，問(wèn)題的幾何形狀的復(fù)雜性對(duì)它的影響不大；
3）速度快，該方法的收斂性是指概率意義下的收斂，因此問(wèn)題維數(shù)的增加不會(huì)影響它的收斂速度；
4）存貯少，處理大型復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的存貯單元很省。
MCM缺點(diǎn)：
如果輸入一個(gè)模式中的隨機(jī)數(shù)并不像設(shè)想的那樣是隨機(jī)數(shù)，而卻構(gòu)成一些微妙的非隨機(jī)模式，那么采用蒙特卡羅方法求解問(wèn)題的結(jié)果有可能是錯(cuò)的。
MCM與GA比較：
蒙特卡羅方法MCM與遺傳算法GA（請(qǐng)參加公眾號(hào)“科技優(yōu)化生活”-人工智能（28））等智能優(yōu)化算法有相似之處，都屬于隨機(jī)近似方法，都不能保證得到最優(yōu)解等，但它們也有著本質(zhì)的差別。1)層次不一樣，MCM只能稱之為方法，GA則屬于仿生智能算法，比MCM要復(fù)雜得多。2）應(yīng)用領(lǐng)域不同，MCM是一種模擬統(tǒng)計(jì)方法，如果問(wèn)題可以描述成某種統(tǒng)計(jì)量的形式，那么就可以用MCM來(lái)解決；而GA等則適用于大規(guī)模的組合優(yōu)化問(wèn)題，以及復(fù)雜函數(shù)求最值、參數(shù)優(yōu)化等。
結(jié)語(yǔ):
蒙特卡羅方法MCM也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。蒙特卡羅方法MCM通過(guò)構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解各種實(shí)際問(wèn)題。在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)（如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算）以及人工智能之機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。
原創(chuàng)：張志榮
